15. В противоположных (наиболее удалённых друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха (рис. 38). Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи? Объясните ответ.

Рисунок 38 на фотографии не виден, поэтому нельзя проверить, задан ли на нём дополнительный маршрут или ограничение. Если паук может передвигаться по поверхности куба, кратчайший путь находится развёрткой трёх прилегающих граней.

При развёртывании эти грани образуют прямоугольник со сторонами \(2a\) и \(a\), где \(a\) — ребро куба. Кратчайший путь по развёртке — диагональ прямоугольника: \(d=\sqrt{(2a)^2+a^2}=a\sqrt{5}\). На кубе этот отрезок соответствует прямой линии, пересекающей рёбра граней.

Ответ: паук должен ползти по прямому отрезку на развёртке трёх граней; длина пути равна \(a\sqrt{5}\).