15. В треугольнике $ABC$ $BM$ — медиана и $BH$ — высота. Известно, что $AC=216$, $HC=54$ и $\angle ACB=40^\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. В треугольнике $ABC$ $BM$ — медиана и $BH$ — высота. Известно, что $AC=216$, $HC=54$ и $\angle ACB=40^\circ$.…$ Фото задания

15. В треугольнике $ABC$ $BM$ — медиана и $BH$ — высота. Известно, что $AC=216$, $HC=54$ и $\angle ACB=40^\circ$. Найдите угол $AMB$. Ответ дайте в градусах.

Accepted Answer

Поскольку $BM$ — медиана, точка $M$ — середина $AC$: $AM=MC=216:2=108$.

Тогда $AH=AC-HC=216-54=162$, а $MH=AH-AM=162-108=54$.

Треугольники $BHC$ и $BHM$ прямоугольные. Угол $BCH$ равен $\angle ACB=40^\circ$, поэтому $\tan 40^\circ=\frac{BH}{HC}$. Так как $HC=MH=54$, получаем $\frac{BH}{MH}=\tan 40^\circ$, следовательно, $\angle BMH=40^\circ$.

Точки $A,M,H$ лежат на одной прямой, причём лучи $MA$ и $MH$ противоположны. Значит, $\angle AMB=180^\circ-40^\circ=140^\circ$.

Ответ: 140°.

15. В треугольнике \(ABC\) \(BM\) — медиана и \(BH\) — высота. Известно, что \(AC=216\), \(HC=54\) и \(\angle ACB=40^\circ\). Найдите угол \(AMB\). Ответ дайте в градусах.

Ответ: