15. В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos ∠ABC.

Решение:

Для нахождения косинуса угла ∠ABC в треугольнике ABC, зная длины всех сторон, можно применить теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит:

• $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

В нашем случае, стороны треугольника:

• $$a = BC = 7$$
• $$b = AC = 9$$
• $$c = AB = 5$$

Угол, косинус которого мы ищем, это ∠ABC, который противолежит стороне AC (обозначим ее как 'b'). Поэтому, применяя теорему косинусов, мы будем использовать следующую формулу, выражая косинус угла B:

• $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

Теперь подставим известные значения:

• $$9^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cos B$$
• $$81 = 49 + 25 - 70 \cos B$$
• $$81 = 74 - 70 \cos B$$

Перенесем известные числа в одну сторону:

• $$81 - 74 = -70 \cos B$$
• $$7 = -70 \cos B$$

Теперь найдем $$\cos B$$:

• $$\cos B = \frac{7}{-70}$$
• $$\cos B = - \frac{1}{10}$$
• $$\cos B = -0.1$$