15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 53° и BM = AM = MC.

Решение:

По условию \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка \( M \) является центром описанной окружности для треугольника \( ABC \), а \( BC \) и \( AB \) являются хордами этой окружности, причём \( AC \) — диаметр.

Рассмотрим треугольник \( BMC \). Так как \( BM = MC \), этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны, поэтому \( \angle MBC = \angle C = 53^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике \( ABC \) равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем \( \angle C = 53^{\circ} \).

Угол \( \angle B \) треугольника \( ABC \) равен \( \angle ABC \). В треугольнике \( ABM \) \( BM = AM \), следовательно, он тоже равнобедренный. Пусть \( \angle ABM = \alpha \). Тогда \( \angle BAM = \angle ABM = \alpha \).

В треугольнике \( BMC \) угол \( \angle BMC = 180^{\circ} - (53^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ} \).

Углы \( \angle AMB \) и \( \angle BMC \) — смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ABM \). Он равнобедренный, \( AM = BM \). Углы при основании равны:

\( \angle BAM = \angle ABM \).

Сумма углов в треугольнике \( ABM \): \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle BAM + 106^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle BAM = 180^{\circ} - 106^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle BAM = 74^{\circ} \)

\( \angle BAM = 37^{\circ} \).

Угол \( A \) треугольника \( ABC \) — это \( \angle BAM \).

Ответ: 37°.