15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, tg A = 2√2. Найдите AB. (рис. 185).

Дано:

• Треугольник ABC
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• AC = 6
• \[ \text{tg } A = 2\sqrt{2} \]

Найти: AB

Решение:

1. Формула тангенса в прямоугольном треугольнике:
   \[ \text{tg } A = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]
2. Находим длину катета BC:
   \[ BC = AC \times \text{tg } A \]
   \[ BC = 6 \times 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]
3. Применяем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AB:
   \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
   \[ AB^2 = 6^2 + (12\sqrt{2})^2 \]
   \[ AB^2 = 36 + (144 \times 2) \]
   \[ AB^2 = 36 + 288 \]
   \[ AB^2 = 324 \]
4. Находим длину AB:
   \[ AB = \sqrt{324} \]
   \[ AB = 18 \]

Ответ: 18