15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, tg A = 2√2 (см. рис. 185). Найдите AB.

Дано:

• Треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( AC = 6 \)
• \( \text{tg } A = 2\sqrt{2} \)

Найти: AB

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

\[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ 2\sqrt{2} = \frac{BC}{6} \]

Найдем длину катета BC:

\[ BC = 6 \times 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]

Теперь, используя теорему Пифагора \( (a^2 + b^2 = c^2) \), найдем гипотенузу AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 6^2 + (12\sqrt{2})^2 \]

\[ AB^2 = 36 + (144 \times 2) \]

\[ AB^2 = 36 + 288 \]

\[ AB^2 = 324 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ AB = \sqrt{324} = 18 \]

Ответ: 18.