15. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС = 3√6. Найдите АС.

Решение:

В треугольнике ABC:

\( \angle A = 45^{\circ} \)

\( \angle B = 60^{\circ} \)

\( BC = 3\sqrt{6} \)

Найдем \( \angle C \):

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \)

По теореме синусов:

\( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \)

\( \frac{AC}{\sin(60^{\circ})} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin(45^{\circ})} \)

\( AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sin(60^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} \)

\( AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)

\( AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

\( AC = \frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \)

\( AC = 3\sqrt{\frac{18}{2}} \)

\( AC = 3\sqrt{9} \)

\( AC = 3 \cdot 3 \)

\( AC = 9 \)

Ответ: 9.