15 В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 45°, BC=5√6. Найдите длину стороны АС.

Чтобы найти длину стороны АС, мы можем использовать теорему синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно отношению любой другой стороны к синусу её противолежащего угла.

Сначала найдем угол С:

Угол С = 180° - Угол А - Угол В

\[ \text{Угол С} = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Теперь применим теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AC}{\sin 45°} = \frac{5\sqrt{6}}{\sin 60°} \]

Мы знаем, что $\backslash (\backslash sin\backslash )\; 45°\; =\; \backslash (\backslash frac\{\backslash sqrt\{2\}\}\{2\}\backslash )\; \backslash (\backslash quad\backslash )\; \backslash (\backslash text\{и\}\backslash )\; \backslash (\backslash quad\backslash )\; \backslash (\backslash sin\backslash )\; 60°\; =\; \backslash (\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash )$ .

Подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Теперь выразим AC:

\[ AC = \frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим:

\[ AC = \frac{5\sqrt{6} \times 2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = \frac{10\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = 10 \sqrt{\frac{6}{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = 10 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC = \frac{10 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}{2} \]

\[ AC = \frac{10 \times 2}{2} \]

\[ AC = 10 \]

Ответ: 10