15. Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем также в порядке возрастания числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и так далее. На каком месте оказалось число 962?

Сумма цифр числа \(962\): \(9+6+2=17\).

До него записаны все числа с суммой цифр от 1 до 16, а затем числа с суммой цифр 17 в порядке возрастания.

Количество чисел от 1 до 999 с суммой цифр \(s\) равно числу решений \(a+b+c=s\), где \(0\le a,b,c\le9\). Для сумм от 1 до 16:

\[\sum_{s=1}^{16}N_s=\binom{18}{3}-1-3\binom{8}{3}=816-1-168=647.\]

Числа с суммой цифр 17: всего \(\binom{19}{2}-3\binom{9}{2}=171-108=63\). Из них перед 962 стоят числа, меньшие 962. Для первых цифр 1–8 получаем \(8\cdot 9=72\) чисел, но с учётом ограничения суммы 17: для каждой первой цифры от 1 до 8 число пар последних цифр равно соответственно \(9,9,9,9,8,7,6,5\), всего \(62\) числа. При первой цифре 9 требуется \(b+c=8\), и перед 962 стоят варианты с \(b<6\): \(0+8,1+7,2+6\), то есть 3 числа. Значит, перед 962 стоят \(647+62+3=712\) чисел.

Ответ: 713-е место.