152. Упростите выражения: а) \(\left(\frac{3m+1}{2m-1}-\frac{3m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5}\); б) \(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right)\).

а) Сначала приведём разность дробей к общему знаменателю:

\(\frac{3m+1}{2m-1}-\frac{3m-1}{2m+1}=\frac{(3m+1)(2m+1)-(3m-1)(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)}=\frac{10m}{(2m-1)(2m+1)}.\)

Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим \(10m-5=5(2m-1)\):

\(\frac{10m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{25}{2m+1}.\)

Ограничения исходного выражения: \(m\ne -\frac12,\frac12,0\).

б) Сложим дроби в скобках:

\(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}.\)

Подставим полученное выражение и сократим:

\(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}.\)

Ограничения исходного выражения: \(x\ne -3,3\).

Ответ: а) \(\frac{25}{2m+1}\), где \(m\ne -\frac12,\frac12,0\); б) \(\frac{2}{x-3}\), где \(x\ne -3,3\).