155. Упростите выражение: а) $(a^2+2a+1)\cdot\left(\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}\right)$; б) $\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac1{3x}-\frac12\right)+1$; в) $1-\left(\frac2{a-2}-\frac2{a+2}\right)\cdot\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)$; г) $(y^2-4)\left(\frac3{y+2}-\frac2{y-2}\right)+5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 155. Упростите выражение: а) $(a^2+2a+1)\cdot\left(\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

$a^2+2a+1=(a+1)^2$. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
\[\frac1{a+1}+\frac1{a^2-1}-\frac1{a-1}=\frac{a-1+1-(a+1)}{a^2-1}=-\frac1{a^2-1}.\]
Тогда $(a+1)^2\cdot\left(-\frac1{(a-1)(a+1)}\right)=-\frac{a+1}{a-1}$. Допустимые значения: $a\ne\pm1$.
Разложим числитель первой скобки и упростим вторую:
\[1-\frac{9x^2+4}{12x}=-\frac{(3x-2)^2}{12x},\qquad \frac1{3x}-\frac12=-\frac{3x-2}{6}.\]
Деление заменяем умножением на обратную дробь:
\[\left(-\frac{(3x-2)^2}{12x}\right):\left(-\frac{3x-2}{6}\right)+1=\frac{3x-2}{2x}+1=\frac{5x-2}{2x}.\]
Допустимые значения: $x\ne0$, $x\ne\frac23$.
\[\frac2{a-2}-\frac2{a+2}=\frac8{a^2-4},\qquad a-\frac{3a+2}{4}=\frac{a-2}{4}.\]
Поэтому
\[1-\frac8{a^2-4}\cdot\frac{a-2}{4}=1-\frac2{a+2}=\frac a{a+2}.\]
Допустимые значения исходного выражения: $a\ne\pm2$.
\[\frac3{y+2}-\frac2{y-2}=\frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}=\frac{y-10}{y^2-4}.\]
Тогда
\[(y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5=y-10+5=y-5.\]
Допустимые значения: $y\ne\pm2$.

Ответ: а) $-\frac{a+1}{a-1}$; б) $\frac{5x-2}{2x}$; в) $\frac a{a+2}$; г) $y-5$.