156. Выполните действия: а) $\left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; б) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right):\left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right)$; в) $(x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right)$; г) $\left(m+1-\frac1{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 156. Выполните действия: а) $\left(\frac1y+\frac2{x-y}\right)\left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Упростим каждую скобку:
\[\frac1y+\frac2{x-y}=\frac{x+y}{y(x-y)},\qquad x-\frac{x^2+y^2}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x+y}.\]
Их произведение равно $1$. В исходном выражении знаменатели не должны обращаться в ноль: $y\ne0$, $x-y\ne0$, $x+y\ne0$.
\[a+b-\frac{2ab}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b},\qquad \frac{a-b}{a+b}+\frac ba=\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}.\]
Делим первую дробь на вторую:
\[\frac{a^2+b^2}{a+b}:\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=a.\]
Для действительных $a,b$ допустимые значения: $a\ne0$, $a+b\ne0$.
\[\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1=\frac2{x^2-1}+1=\frac{x^2+1}{x^2-1}.\]
Умножаем на $x^2-1$: результат $x^2+1$, при $x\ne\pm1$.
Преобразуем делимое:
\[m+1-\frac1{1-m}=m+1+\frac1{m-1}=\frac{m^2}{m-1}.\]
Делитель равен
\[m-\frac{m^2}{m-1}=\frac{m(m-1)-m^2}{m-1}=-\frac m{m-1}.\]
Следовательно, частное равно $\frac{m^2}{m-1}:\left(-\frac m{m-1}\right)=-m$. Допустимые значения: $m\ne0$, $m\ne1$.

Ответ: а) $1$; б) $a$; в) $x^2+1$; г) $-m$.