Ответ:

1) Основы: достижения и время расставили; модель стала аксиомой. Перед вторым союзом и, связывающим части сложносочинённого предложения, ставится запятая.

2) Однородные сказуемые цвели и засыпали соединены одиночным союзом и; запятая не нужна.

3) Основы: столетия миновали; империя пала. Обстоятельство под натиском варваров относится ко второй части и не является общим, поэтому перед и ставится запятая.

4) Запятая нужна между однородными дополнениями при повторяющемся союзе или: жёлтым голландским лаком или обыкновенным, или лаком цвета сепии.

5) В парном союзе то…, то… запятая ставится перед второй частью: то во дворе и в саду, то в переулке или на пустыре. Внутри групп слова соединены одиночными союзами и и или, поэтому дополнительных запятых нет.

Ответ: 1, 3, 4, 5.