16. АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 58°. Найдите угол АOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Анализ данных:

• АС и BD – диаметры окружности.
• О – центр окружности.
• \( \angle ACB = 58° \).

2. Свойства:

• Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Угол, опирающийся на диаметр, является прямым (90°).
• Вертикальные углы равны.
• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

3. Нахождение \( \angle AOD \):

• \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
• Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен \( \angle AOB \).
• Следовательно, \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 58° = 116° \).
• \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы.
• \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные углы.
• \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) — развёрнутые углы (180°), так как АС и BD – диаметры.
• \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы.
• \( \angle AOB \) и \( \angle COD \) — вертикальные углы.
• \( \angle AOB + \angle BOC = 180° \) (смежные углы, так как BOD – диаметр).
• \( 116° + \angle BOC = 180° \)
• \( \angle BOC = 180° - 116° = 64° \).
• \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные углы, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC = 64° \).

Другой способ:

• \( \triangle BOC \) – равнобедренный, так как OB = OC (радиусы).
• \( \angle OBC = \angle OCB = 58° \).
• \( \angle BOC = 180° - (58° + 58°) = 180° - 116° = 64° \).
• \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) – вертикальные углы.
• \( \angle AOD = \angle BOC = 64° \).

Ответ: 64