Контрольные задания > 16. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр ОМ длиной 4 см. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если AB = 12 см, BC = 20 см, ∠BAD = 30°.
Вопрос:

16. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр ОМ длиной 4 см. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если AB = 12 см, BC = 20 см, ∠BAD = 30°.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Расстояние от точки М до сторон параллелограмма будет гипотенузой прямоугольных треугольников, где один катет — это OM, а другой — расстояние от точки О до соответствующей стороны параллелограмма.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Точка О — середина диагоналей параллелограмма. Расстояние от О до сторон параллелограмма является высотой треугольников, образованных диагоналями и сторонами.
  2. Шаг 2: Найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними: \( S_{ABCD} = AB · BC · \sin(∠BAD) = 12 · 20 · \sin(30°) = 12 · 20 · 0.5 = 120 \) см2.
  3. Шаг 3: Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} · 120 = 60 \) см2.
  4. Шаг 4: Расстояние от точки О до стороны AB (или CD). Треугольник ABO равновелик треугольнику CDO. Аналогично, треугольники BCO и DAO равновелики. Точка О делит площадь треугольника ABC на две равные части, т.е. площадь треугольника AOB равна площади треугольника COB.
  5. Шаг 5: Расстояние от О до AB (h_AB): \( S_{ABO} = \frac{1}{2} AB · h_{AB} \). Точка О является центром параллелограмма, поэтому она делит высоту параллелограмма пополам. Высота параллелограмма, проведенная к стороне AB: \( h = BC · \sin(30°) = 20 · 0.5 = 10 \) см. Расстояние от О до AB равно \( \frac{1}{2} h = \frac{1}{2} · 10 = 5 \) см.
  6. Шаг 6: Расстояние от О до BC (h_BC): Аналогично, высота, проведенная к стороне BC: \( h' = AB · \sin(30°) = 12 · 0.5 = 6 \) см. Расстояние от О до BC равно \( \frac{1}{2} h' = \frac{1}{2} · 6 = 3 \) см.
  7. Шаг 7: Найдем расстояние от точки М до сторон. OM = 4 см.
  8. Шаг 8: Расстояние от М до AB: \( d_{AB} = \sqrt{OM^2 + h_{AB}^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \) см.
  9. Шаг 9: Расстояние от М до BC: \( d_{BC} = \sqrt{OM^2 + h_{BC}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.
  10. Шаг 10: Расстояние от М до CD равно расстоянию от М до AB, так как CD параллельна AB и находится на таком же расстоянии от О. \( d_{CD} = \sqrt{41} \) см.
  11. Шаг 11: Расстояние от М до AD равно расстоянию от М до BC, так как AD параллельна BC и находится на таком же расстоянии от О. \( d_{AD} = 5 \) см.

Ответ: Расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны параллелограмма, равны \(\sqrt{41}\) см и 5 см.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие