16. Диагональ АС ромба ABCD равна 36, а tg∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. Ответ:

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \).

2. В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) имеем \( \angle BOC = 90^° \).

3. По условию \( \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{4}{3} \). Так как \( OC = 18 \), то \( BO = \frac{4}{3} · OC = \frac{4}{3} · 18 = 24 \).

4. Диагональ \( BD = 2 · BO = 2 · 24 = 48 \).

5. Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Площадь ромба можно вычислить двумя способами: \( S = \frac{1}{2} AC · BD \) и \( S = a · h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.

6. Сторона ромба \( BC \) находится по теореме Пифагора из \( \triangle BOC \): \( BC = w\sqrt{BO^2 + OC^2} = w\sqrt{24^2 + 18^2} = w\sqrt{576 + 324} = w\sqrt{900} = 30 \).

7. Площадь ромба: \( S = w\frac{1}{2} · 36 · 48 = 18 · 48 = 864 \).

8. Высота ромба: \( h = w\frac{S}{a} = \frac{864}{30} = 28.8 \).

9. Радиус вписанной окружности \( r = w\frac{h}{2} = \frac{28.8}{2} = 14.4 \).

Ответ: 14.4