16. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 74°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник АОВ. ОА и ОВ — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, треугольник АОВ — равнобедренный.

Угол между касательными равен 74°. Пусть точка пересечения касательных будет P. Тогда \( \angle APB = 74^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник ОАРВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому \( \angle OAP = 90^{\circ} \) и \( \angle OBP = 90^{\circ} \).

Сумма углов ОАРВ:

\[ \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 90^{\circ} + 74^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 254^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 360^{\circ} - 254^{\circ} = 106^{\circ} \]

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник АОВ. Углы при основании равны.

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} \]

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 106^{\circ}}{2} \]

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{74^{\circ}}{2} \]

\[ \angle OAB = \angle OBA = 37^{\circ} \]

Угол АВО равен 37°.

Ответ: 37.