16. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 16 и BC = 49. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Радиус окружности равен AC = 16. Поскольку A, C и B лежат на одной прямой, расстояние от центра до точки B равно AB = AC + CB = 16 + 49 = 65.

По теореме о касательной и секущей квадрат длины касательной равен разности квадратов расстояния от B до центра и радиуса: \(t^2=65^2-16^2=(65-16)(65+16)=49\cdot81=3969\). Тогда \(t=\sqrt{3969}=63\).

Ответ: 63.