16. Найдите наименьшие основания систем счисления x и y, исходя из условий: 1) 23ₓ = 21ᵧ; 2) 51ₓ = 15ᵧ; 3) 144ₓ = 441ᵧ.

1) Равенство значений чисел даёт \(2x+3=2y+1\), откуда \(y=x+1\). Цифра 3 требует \(x\ge4\), поэтому наименьшая пара оснований: \(x=4,\ y=5\).

2) Имеем \(5x+1=y+5\), значит \(y=5x-4\). Цифра 5 требует \(x\ge6\); при наименьшем допустимом x получаем \(y=26\). Следовательно, \(x=6,\ y=26\).

3) Уравнение значений: \(x^2+4x+4=4y^2+4y+1\). Оно равносильно \((x+1)^2=(2y+1)^2\), поэтому для положительных оснований \(x=2y\). Но цифра 4 в числе \(441_y\) требует \(y\ge5\), а значит, наименьшие основания — \(x=10,\ y=5\).

Ответ: 1) x = 4, y = 5; 2) x = 6, y = 26; 3) x = 10, y = 5.