Предложение 1: "Идя по шумному проспекту и чувствуя свое единение с толпой, он был счастлив." — Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом "Идя по шумному проспекту и чувствуя свое единение с толпой", стоит перед определяемым словом "он" и обособляется. Ошибок нет.
Предложение 2: "Сестра загрустила и, отвернувшись, стала смотреть на другой берег." — Обособленное обстоятельство, выраженное одиночным деепричастием "отвернувшись", стоит между однородными сказуемыми "загрустила" и "стала смотреть". Ошибка: одиночное деепричастие, стоящее между однородными членами, не обособляется.
Предложение 3: "Работает он с утра до вечера, не покладая рук." — Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом "не покладая рук", стоит после определяемого слова "Работает" и обособляется. Ошибок нет.
Предложение 4: "Шевеля губами, мальчик что-то читал." — Обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом "Шевеля губами", стоит перед определяемым словом "мальчик" и обособляется. Ошибок нет.