16. Прямая касается окружности в точке К. Точка О – центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 72°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, которую он заключает. Угол между касательной и хордой KM равен 72°, значит, дуга MK равна 2 * 72° = 144°.

Угол OMK является углом при основании равнобедренного треугольника OMK (так как OM и OK — радиусы окружности). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Центральный угол, опирающийся на дугу MK, равен самой дуге, то есть \( \angle MOK = 144° \).

Сумма углов в треугольнике OMK равна 180°.

\( \angle OMK + \angle OKM + \angle MOK = 180° \)

\( \angle OMK + \angle OKM + 144° = 180° \)

\( \angle OMK + \angle OKM = 180° - 144° \)

\( \angle OMK + \angle OKM = 36° \)

Так как \( \angle OMK = \angle OKM \), то \( 2 \cdot \angle OMK = 36° \).

\( \angle OMK = \frac{36°}{2} = 18° \).

Ответ: 18