16. Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ДАВС = 66° и ∠OAB=46°. Найдите угол ВСО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Треугольник АОВ — равнобедренный, так как ОА и ОВ — радиусы. Значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 46° \).
2. \( \angle AOB = 180° - (46° + 46°) = 180° - 92° = 88° \).
3. В треугольнике ABC: \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC \) и \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC \).
4. Угол ABC опирается на дугу AC. Угол BAC опирается на дугу BC. Угол ACB опирается на дугу AB.
5. \( \angle ACB = 66° \).
6. В треугольнике BOC — равнобедренный (ОВ = ОС — радиусы), поэтому \( \angle OCB = \angle OBC \).
7. \( \angle BOC = 180° - \angle AOB - \angle AOC \).
8. \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC \) (центральный угол в 2 раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу).
9. \( \angle ABC = 180° - \angle BAC - \angle ACB \).
10. Из \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
11. \( \angle BAC + \angle ABC + 66° = 180° \)
12. \( \angle BAC + \angle ABC = 114° \)
13. В \( \triangle AOB \), \( \angle OAB = 46° \), \( \angle OBA = 46° \).
14. \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 46° + \angle OAC \).
15. \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 46° + \angle OBC \).
16. \( (46° + \angle OAC) + (46° + \angle OBC) = 114° \)
17. \( 92° + \angle OAC + \angle OBC = 114° \)
18. \( \angle OAC + \angle OBC = 114° - 92° = 22° \)
19. \( \angle OAC = \angle OCA \) (так как \( \triangle AOC \) равнобедренный)
20. \( \angle OBC = \angle OCB \) (так как \( \triangle BOC \) равнобедренный)
21. \( \angle OAC + \angle OCB = 22° \)
22. Так как \( \angle OCB = \angle OBC \), то \( \angle OBC = \angle OCB \).
23. \( \angle ACB = \angle ACO + \angle OCB = 66° \)
24. \( \angle ACO = \angle OAC \)
25. \( \angle OAC + \angle OCB = 22° \)
26. \( \angle OCB = 22° - \angle OAC \)
27. \( 66° = \angle OAC + (22° - \angle OAC) \)
28. \( 66° = 22° \) — противоречие.
29. Проверим условие: \( \angle ABC = 66° \).
30. \( \angle OAB = 46° \). \( \triangle AOB \) равнобедренный, \( \angle OBA = 46° \).
31. \( \angle ABC = 66° \). \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 66° - 46° = 20° \).
32. \( \triangle BOC \) равнобедренный, \( \angle OCB = \angle OBC = 20° \).
33. ИЛИ
34. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)
35. \( \angle BAC + 66° + \angle ACB = 180° \)
36. \( \angle BAC + \angle ACB = 114° \)
37. \( \angle OAB = 46° \). \( \triangle AOB \) равнобедренный, \( \angle OBA = 46° \).
38. \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 46° + \angle OAC \).
39. \( \angle ACB = \angle ACO + \angle OCB \).
40. \( \angle AOC = 180° - 2 \cdot 46° = 180° - 92° = 88° \).
41. \( \angle BOC = 180° - \angle AOB - \angle AOC \).
42. \( \angle AOB = 180° - 2 \cdot 46° = 88° \).
43. \( \angle BOC = 180° - 88° - \angle AOC \).
44. \( \angle ABC = 66° \). \( \angle BAC \) и \( \angle ACB \) неизвестны.
45. \( \angle BAC = 180° - 66° - \angle ACB \).
46. \( \angle OAB = 46° \), \( \angle OBA = 46° \).
47. \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC \).
48. \( \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 66° \).
49. \( \angle ACB = \angle ACO + \angle OCB \).
50. \( \angle ABC = 66° \) — это вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
51. Центральный угол \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 66° = 132° \).
52. В \( \triangle AOC \): \( OA = OC \) (радиусы), значит \( \angle OAC = \angle OCA = (180° - 132°)/2 = 48°/2 = 24° \).
53. \( \angle OAB = 46° \). \( \angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 46° + 24° = 70° \).
54. \( \angle ABC = 66° \).
55. \( \angle ACB = 180° - 70° - 66° = 44° \).
56. \( \angle OCB = \angle ACB - \angle OCA = 44° - 24° = 20° \).
57. \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 66° - 46° = 20° \).
58. \( \triangle BOC \) равнобедренный ( \( OB=OC \) ), \( \angle OBC = \angle OCB = 20° \).
59. Это соответствует условию.

Ответ: 20°.