16. Углы треугольника АВС относятся так: ∠A: ∠B: ∠C= 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 12. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

1. Найдём углы треугольника ABC:

Пусть \( \angle A = x \), \( \angle B = 2x \), \( \angle C = 3x \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\( x + 2x + 3x = 180^{\circ} \)

\( 6x = 180^{\circ} \)

\( x = 30^{\circ} \)

Значит,

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( \angle B = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

\( \angle C = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ} \)

Треугольник ABC — прямоугольный.

2. Найдём углы, образованные биссектрисой BM:

BM — биссектриса \( \angle ABC \), значит, она делит его пополам:

\( \angle ABM = \angle MBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \)

3. Рассмотрим треугольник BCM:

Углы треугольника BCM:

• \( \angle MBC = 30^{\circ} \)
• \( \angle BCM = \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \angle BMC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \)

В прямоугольном треугольнике BCM, катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.

Против угла \( \angle MBC = 30^{\circ} \) лежит катет MC.

Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла \( \angle BCM = 90^{\circ} \), это сторона BM.

\( MC = \frac{1}{2} BM \)

По условию, \( BM = 12 \).

\( MC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \)

Ответ: 6.