16 В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ так, что ∠AOB = 105°. Через точки А и В проведены касательные к окружности, пересекающиеся в точке Р. Найдите градусную меру угла АРВ.

Решение:

Угол \( \angle AOB = 105^{\circ} \). Касательные \( PA \) и \( PB \) перпендикулярны радиусам \( OA \) и \( OB \) соответственно. То есть \( \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} \).

Четырехугольник \( OAPB \) имеет сумму углов \( 360^{\circ} \). Следовательно:

\( \angle APB + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360^{\circ} \)

\( \angle APB + 90^{\circ} + 105^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle APB + 285^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle APB = 360^{\circ} - 285^{\circ} = 75^{\circ} \)

Ответ: 75°.