16. В треугольнике ABC угол C равен 135°, AB = 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для нахождения радиуса описанной окружности вокруг треугольника используем теорему синусов:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

где a, b, c — стороны треугольника, A, B, C — противолежащие углы, R — радиус описанной окружности.

В данном случае:

• Сторона AB (обозначим как c) = \( 14\sqrt{2} \)
• Угол C = \( 135^{\circ} \)

Используем формулу:

\( \frac{AB}{\sin C} = 2R \)

Подставим известные значения:

\( \frac{14\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ}} = 2R \)

Значение \( \sin 135^{\circ} \) равно \( \sin (180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\( \frac{14\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \)

\( 14\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \)

\( 14 \cdot 2 = 2R \)

\( 28 = 2R \)

\( R = \frac{28}{2} \)

\( R = 14 \)

Ответ: 14