17. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

В данной задаче:

• Большее основание \( b = 7 \)
• Меньшее основание \( a = 3 \)
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \)

Проведём высоты из концов меньшего основания на большее. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, на которые делится большее основание, равны.

Пусть \( x \) — длина отрезка от вершины трапеции до основания высоты. Тогда:

\( x = \frac{b-a}{2} \)

\( x = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком \( x \). Угол при основании равен \( 45^{\circ} \).

В этом треугольнике тангенс угла \( 45^{\circ} \) равен отношению противолежащего катета (высоты \( h \)) к прилежащему катету (отрезку \( x \)):

\( \tan 45^{\circ} = \frac{h}{x} \)

Так как \( \tan 45^{\circ} = 1 \) и \( x = 2 \), то:

\( 1 = \frac{h}{2} \)

\( h = 2 \)

Теперь найдём площадь трапеции:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{3+7}{2} \cdot 2 \)

\( S = \frac{10}{2} \cdot 2 \)

\( S = 5 \cdot 2 \)

\( S = 10 \)

Ответ: 10