164-4 sin²x +11 sinx-3=0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно sin x. Пусть y = sin x, тогда уравнение примет вид:

• \[ 4y^2 + 11y - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4(4)(-3) = 121 + 48 = 169 \]

Найдем корни уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \]
• \[ y_2 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Теперь вернемся к замене y = sin x:

• \[ \sin x = -3 \]
• Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть меньше -1.
• \[ \sin x = \frac{1}{4} \]
• Это уравнение имеет решения. Общий вид решений:
• \[ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]