-166-a 2.cos²x + sinx + 1 = 0

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: cos²x = 1 - sin²x. Подставим это в уравнение:

• \[ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0 \]
• \[ 2 - 2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \]
• \[ -2\sin^2 x + \sin x + 3 = 0 \]

Умножим все на -1, чтобы получить положительный коэффициент при старшем члене:

• \[ 2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0 \]

Пусть y = sin x, тогда уравнение примет вид:

• \[ 2y^2 - y - 3 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни уравнения:

• \[ y_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
• \[ y_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Теперь вернемся к замене y = sin x:

• \[ \sin x = \frac{3}{2} \]
• Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
• \[ \sin x = -1 \]
• Это уравнение имеет решение. Общий вид решения:
• \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]