17. (3 балла) Однородный шар диаметром 6 см весит 256 граммов. Сколько граммов весит шар диаметром 4 см, изготовленный из того же материала?

Решение:

Масса шара пропорциональна его объёму, а объём шара пропорционален кубу его радиуса (или диаметра).

Формула объёма шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

Пусть \( d_1 \) — диаметр первого шара, \( m_1 \) — его масса.

Пусть \( d_2 \) — диаметр второго шара, \( m_2 \) — его масса.

\( d_1 = 6 \) см, \( m_1 = 256 \) г.

\( d_2 = 4 \) см, \( m_2 = ? \) г.

Так как материал однородный, плотность \( \rho \) одинакова.

Масса \( m = \rho V \).

\( m_1 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi \left( \frac{d_1}{2} \right)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi \frac{d_1^3}{8} = \rho \cdot \frac{\pi}{6} d_1^3 \)

\( m_2 = \rho \cdot \frac{\pi}{6} d_2^3 \)

Отношение масс:

\[ \frac{m_2}{m_1} = \frac{\rho \cdot \frac{\pi}{6} d_2^3}{\rho \cdot \frac{\pi}{6} d_1^3} = \frac{d_2^3}{d_1^3} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^3 \]

\[ m_2 = m_1 \cdot \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^3 \]

Подставим значения:

\[ m_2 = 256 \text{ г} \cdot \left( \frac{4 \text{ см}}{6 \text{ см}} \right)^3 \]

\[ m_2 = 256 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 \]

\[ m_2 = 256 \cdot \frac{8}{27} \]

\[ m_2 = \frac{2048}{27} \]

Вычислим приближенное значение:

\[ m_2 \(\approx\) 75.85 \) г.

Ответ: \( \frac{2048}{27} \) граммов (приблизительно 75.85 граммов).