18. (3 балла) Решите уравнение: -7 cos²x + 3 sin²x + 4 cos x sin x = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \), предполагая, что \( \cos x \neq 0 \).

\( -7 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 4 \frac{\cos x \sin x}{\cos^2 x} = 0 \)

\( -7 + 3 \tan^2 x + 4 \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)

\( 3 \tan^2 x + 4 \tan x - 7 = 0 \)

Сделаем замену: \( t = \tan x \).

\( 3t^2 + 4t - 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( t \).

Дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 \]

Корни для \( t \):

\[ t_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} \]

Теперь вернемся к замене \( t = \tan x \):

1. \( \tan x = 1 \)

\( x = \arctan(1) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2. \( \tan x = -\frac{7}{3} \)

\( x = \arctan\left(-\frac{7}{3}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( x = -\arctan\left(\frac{7}{3}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Проверим, что \( \cos x \neq 0 \) для этих решений. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \tan x \) не определён. Поскольку мы получили конечные значения для \( \tan x \), наши решения корректны.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = -\arctan\left(\frac{7}{3}\right) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).