17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию f(x) = -2x³ + 3x² + 12х + 5 на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Исследование функции \( f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x + 5 \)

1. Найдём производную функции:

\( f'(x) = (-2x^3 + 3x^2 + 12x + 5)' \)

\( f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \)

2. Найдём критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует):

\( -6x^2 + 6x + 12 = 0 \)

Разделим обе части на -6:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

\( \sqrt{D} = 3 \)

\( x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

Разобьём числовую ось на интервалы с помощью критических точек: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 2) \), \( (2; +\infty) \).

Интервал \( (-\infty; -1) \): возьмём \( x = -2 \).

\( f'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -6(4) - 12 + 12 = -24 \). Производная отрицательна, значит, функция убывает.

Интервал \( (-1; 2) \): возьмём \( x = 0 \).

\( f'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 \). Производная положительна, значит, функция возрастает.

Интервал \( (2; +\infty) \): возьмём \( x = 3 \).

\( f'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -6(9) + 18 + 12 = -54 + 30 = -24 \). Производная отрицательна, значит, функция убывает.

4. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, это точка локального минимума.

\( f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) + 5 = -2(-1) + 3(1) - 12 + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2 \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, это точка локального максимума.

\( f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) + 5 = -2(8) + 3(4) + 24 + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25 \).

Выводы:

— Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1] \) и \( [2; +\infty) \).

— Функция возрастает на интервале \( [-1; 2] \).

— Точка локального минимума: \( (-1; -2) \).

— Точка локального максимума: \( (2; 25) \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; -1] \) и \( [2; +\infty) \); возрастает на \( [-1; 2] \). Точка минимума: \( (-1; -2) \); точка максимума: \( (2; 25) \).