18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у = 2-х² и у = х и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Построение фигуры и нахождение площади

1. Построим графики функций:

Функция \( y = 2 - x^2 \) — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0; 2) \).

Функция \( y = x \) — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.

2. Найдем точки пересечения графиков:

Приравняем правые части уравнений:

\( 2 - x^2 = x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

\( \sqrt{D} = 3 \)

\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Найдём соответствующие значения \( y \) для точек пересечения:

При \( x = 1 \): \( y = 1 \) (или \( y = 2 - 1^2 = 1 \)). Точка пересечения: \( (1; 1) \).

При \( x = -2 \): \( y = -2 \) (или \( y = 2 - (-2)^2 = 2 - 4 = -2 \)). Точка пересечения: \( (-2; -2) \).

3. Вычислим площадь фигуры с помощью интеграла:

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a; b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом отрезке, вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)

В нашем случае, на интервале \( [-2; 1] \), функция \( y = 2 - x^2 \) находится выше функции \( y = x \) (можно проверить, взяв любую точку из интервала, например, \( x=0 \): \( 2 - 0^2 = 2 \) и \( y = 0 \), \( 2 > 0 \)).

Итак, \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( f(x) = 2 - x^2 \), \( g(x) = x \).

\( S = \int_{-2}^{1} ((2 - x^2) - x) dx \)

\( S = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx \)

Вычислим неопределённый интеграл:

\( \int (2 - x^2 - x) dx = 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C \)

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\( S = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} \)

\( S = \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} \right) \)

\( S = \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( -4 - \frac{-8}{3} - \frac{4}{2} \right) \)

\( S = \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( -4 + \frac{8}{3} - 2 \right) \)

Приведём дроби к общему знаменателю (6):

\( S = \left( \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} \right) - \left( -6 + \frac{16}{6} \right) \)

\( S = \frac{7}{6} - \left( \frac{-36 + 16}{6} \right) \)

\( S = \frac{7}{6} - \frac{-20}{6} \)

\( S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} \)

\( S = \frac{27}{6} \)

Сократим дробь:

\( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) или \( 4.5 \) квадратных единиц.