17. Диагональ OM ромба OXMA равна 144, а tg ∠XMO = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам. Пусть их пересечение — точка пересечения диагоналей. Половина диагонали OM равна \(144:2=72\).

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, для угла XMO тангенс равен отношению половины диагонали XA к половине OM:

\(\tan\angle XMO=\dfrac{XA/2}{OM/2}=\dfrac{XA/2}{72}=\dfrac7{24}\).

Отсюда \(XA/2=72\cdot\dfrac7{24}=21\), значит, \(XA=42\).

Площадь ромба: \(S=\dfrac{OM\cdot XA}{2}=\dfrac{144\cdot42}{2}=3024\).

Половины диагоналей равны 72 и 21, поэтому сторона ромба равна \(\sqrt{72^2+21^2}=75\). Полупериметр равен 150. Для вписанной окружности \(S=r\cdot p\), откуда \(r=3024/150=20.16\).

Ответ: 20,16.