17. Диагональ прямоугольника образует угол 28° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник, образованный стороной прямоугольника, диагональю и высотой. Пусть сторона равна \( a \), другая сторона \( b \), диагональ \( d \). Угол между диагональю и стороной \( a \) равен 28°.

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a \), \( b \) и диагональю \( d \), имеем:

\[ \tan(28°) = \frac{b}{a} \]

Рассмотрим треугольник AOB, образованный двумя половинками диагоналей и стороной AB.

\( AO = BO \) (половинки равных диагоналей).

Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.

Угол между стороной \( a \) (AB) и диагональю \( d \) (AC) равен 28°.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной \( b \), диагональю \( d \) и стороной \( a \).

Угол между стороной \( b \) (BC) и диагональю \( d \) (AC) равен \( 90° - 28° = 62° \).

Теперь рассмотрим треугольник BOC. \( BO = CO \), значит, он тоже равнобедренный.

Угол между диагональю AC и стороной BC равен 62°.

Угол BOC — угол при вершине равнобедренного треугольника BOC.

\( \angle BOC = 180° - ( \angle OBC + \angle OCB ) \)

Угол OCB — это угол между диагональю AC и стороной BC, который равен 62°.

Угол OBC — это угол между диагональю BD и стороной BC. Поскольку диагонали равны и делятся пополам, \( \angle OBC = \angle OCB = 62° \).

\( \angle BOC = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56° \)

Этот угол является тупым углом между диагоналями.

Острый угол между диагоналями будет смежным с ним:

\[ 180° - 56° = 124° \]

Подождите, угол между диагоналями — это углы AOB, BOC, COD, DOA. Углы AOB и COD равны, углы BOC и DOA равны.

Рассмотрим угол, образованный стороной \( a \) (AB) и диагональю \( d \) (AC), он равен 28°.

В треугольнике AOB, \( AO = BO \), значит, он равнобедренный.

Угол \( \angle BAC = 28° \).

Угол \( \angle ABC \) в прямоугольном треугольнике равен \( 90° \).

Угол \( \angle ACB = 180° - 90° - 28° = 62° \).

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Угол \( \angle OAB = 28° \).

Угол \( \angle OBA \) равен углу \( \angle BAC \), так как они опираются на одну дугу BC. Следовательно, \( \angle OBA = 28° \).

Угол между диагоналями, который является углом \( \angle AOB \):

\[ \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124° \]

Это тупой угол. Острый угол равен \( 180° - 124° = 56° \).

Проверка:

Угол между диагональю и другой стороной \( 90° - 28° = 62° \).

Треугольник BOC равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = 62° \).

\[ \angle BOC = 180° - (62° + 62°) = 180° - 124° = 56° \]

Острый угол между диагоналями равен 56°.

Ответ: 56