17. Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольник, \( AC \) и \( BD \) — его диагонали. Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке \( O \), причём \( AO = BO = CO = DO \).

Пусть угол между диагональю \( AC \) и стороной \( AB \) равен \( \alpha = 51^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \):

\( \angle BAC = 51^{\circ} \)

\( \angle BCA = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( AO = BO \) (половины равных диагоналей), значит, треугольник \( AOB \) равнобедренный.

Угол \( OAB = \angle BAC = 51^{\circ} \).

Угол \( OBA = \angle ABC - \angle OBC \). Но \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( AOB \), угол \( OBA = \angle OAB = 51^{\circ} \).

Угол \( AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Угол \( AOB \) — тупой угол между диагоналями. Острый угол между диагоналями — это угол \( BOC \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Это тоже тупой угол. Что-то не так.

По условию, угол между диагональю и СТОРОНОЙ равен 51°. Пусть это будет \( \angle BAC = 51^{\circ} \).

Тогда \( \angle BCA = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( AO = BO \) (половины равных диагоналей).

\( \angle OAB = \angle BAC = 51^{\circ} \).

Угол \( OBA \) — это тот же \( \angle ABC = 90^{\circ} \) минус \( \angle OBC \). Нет.

Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( BO = CO \).

\( \angle OCB = \angle BCA = 39^{\circ} \).

\( \angle OBC = \angle OCB = 39^{\circ} \).

Угол \( BOC = 180^{\circ} - (39^{\circ} + 39^{\circ}) = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Угол \( AOB = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями — это \( 78^{\circ} \).

Ответ: 78