17 Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где \( AB \) и \( CD \) — основания, \( AB = 2 \) и \( CD = 5 \). Пусть \( AC \) — диагональ, которая образует угол \( \text{угол} ACD = 45^\text{о} \) с основанием \( CD \).

Проведем высоту \( BH \) из вершины \( B \) к основанию \( CD \). Длина высоты \( BH \) равна высоте трапеции \( h \).

Из свойств равнобедренной трапеции, опустим высоту \( AE \) из вершины \( A \) к основанию \( CD \). Тогда \( AE = h \).

\( \text{угол} CAE = 45^\text{о} \).

Так как трапеция равнобедренная, то \( DE = \frac{CD - AB}{2} = \frac{5 - 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ADE \), где \( \text{угол} AED = 90^\text{о} \) и \( \text{угол} DAE = 45^\text{о} \).

Так как \( \text{угол} DAE = 45^\text{о} \), то \( \triangle ADE \) — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Следовательно, \( AE = DE = 1.5 \).

Высота трапеции \( h = AE = 1.5 \).

Ответ: 1.5