17. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и АД пересекаются в точке O. BC=11, AD=15, AC= 52. Найдите длину отрезка АО.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим треугольники \( riangle BOC \) и \( riangle DOA \).
• Так как \( BC ∥ AD \), то \( riangle BOC ~ riangle DOA \) по двум углам (как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).
• Отношение соответственных сторон подобных треугольников равно: \( rac{BC}{AD} = rac{BO}{DO} = rac{CO}{AO} \)
• Нам даны \( BC = 11 \), \( AD = 15 \), \( AC = 52 \).
• Из подобия следует: \( rac{BC}{AD} = rac{CO}{AO} \)
• Подставляем известные значения: \( rac{11}{15} = rac{CO}{AO} \)
• Также мы знаем, что \( AC = AO + CO = 52 \).
• Выразим \( CO \) через \( AO \): \( CO = 52 - AO \).
• Подставляем это выражение в пропорцию: \( rac{11}{15} = rac{52 - AO}{AO} \)
• Решаем уравнение:
• \( 11 · AO = 15 · (52 - AO) \)
• \( 11 AO = 15 · 52 - 15 AO \)
• \( 11 AO = 780 - 15 AO \)
• \( 11 AO + 15 AO = 780 \)
• \( 26 AO = 780 \)
• \( AO = rac{780}{26} \)
• \( AO = 30 \)

Ответ: 30