17. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основаниями BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, а диагонали равны. Угол CAD = 30° (как накрест лежащий углу ACB). Угол ACD = 105°. В треугольнике ACD сумма углов равна 180°, поэтому угол ADC = 180° - 30° - 105° = 45°. Угол BCD = угол ACB + угол ACD = 30° + 105° = 135°. Угол ABC = угол BAD. Угол BAD = угол BAC + угол CAD. Угол BAC = 180° - угол ABC - угол ACB. Так как трапеция равнобедренная, то угол ADC = угол BCD. Это противоречие, значит, угол 105° образуется с основанием AD, а не с боковой стороной CD. Предположим, что угол CAD = 30°, а угол ACD = 105°. Тогда в треугольнике ACD угол ADC = 180° - 30° - 105° = 45°. Угол BCD = 180° - 45° = 135°. Угол ACB = 30°. Угол ABC = 180° - 135° + 30° = 75°. Угол BAD = 180° - 75° = 105°. Угол BAC = 105° - 30° = 75°. Меньший угол трапеции равен 75°.

Если же угол CAD = 105°, а угол ACD = 30°, то в треугольнике ACD угол ADC = 180° - 105° - 30° = 45°. Угол BCD = 180° - 45° = 135°. Угол ACB = 105°. Угол ABC = 180° - 135° + 105° = 70°. Угол BAD = 180° - 70° = 110°. Угол BAC = 110° - 105° = 5°. Меньший угол трапеции равен 70°.

Исходя из рисунка, угол при вершине C равен 105°, а угол между диагональю и основанием BC равен 30°. Следовательно, угол CAD = 30°. В треугольнике ACD: угол ADC = 180° - 30° - 105° = 45°. Угол при основании AD равен 45°. Угол при основании BC равен 45°. Угол ABC = 180° - 45° = 135°. Угол BAD = 45°. Угол BAC = 45° - 30° = 15°. Меньший угол трапеции равен 45°.