17. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 78, а отношение соседних сторон равно 4 : 9.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). По условию, периметр прямоугольника \( P = 2(a+b) = 78 \), а отношение сторон \( \frac{a}{b} = \frac{4}{9} \).

1. Из периметра найдем сумму сторон: \( a+b = \frac{78}{2} = 39 \).
2. Из отношения сторон выразим одну сторону через другую: \( a = \frac{4}{9}b \).
3. Подставим выражение для \( a \) в уравнение суммы сторон: \( \frac{4}{9}b + b = 39 \).
4. Приведем к общему знаменателю: \( \frac{4b + 9b}{9} = 39 \) \( \frac{13b}{9} = 39 \).
5. Найдем \( b \): \( b = 39 \cdot \frac{9}{13} = 3 \cdot 9 = 27 \).
6. Найдем \( a \): \( a = \frac{4}{9} \cdot 27 = 4 \cdot 3 = 12 \).
7. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \( S = a \cdot b \).
8. \( S = 12 \cdot 27 \).
9. \( 12 \cdot 27 = 12 \cdot (20 + 7) = 240 + 84 = 324 \).

Ответ: 324.