17. Найдите значение выражения \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \). Ответ: 5.

Краткая запись:

• Выражение: \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} \)
• Найти: Значение выражения.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен произведению знаменателей: \( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \).
2. Шаг 2: Используем формулу разности квадратов: \( (a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2} \). В нашем случае: \( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 7 - 3 = 4 \).
3. Шаг 3: Приводим каждую дробь к общему знаменателю:
   Для первой дроби: \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2\cdot 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{3}}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} \).
   Для второй дроби: \( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{7} + 2\cdot 3}{4} = \frac{2\sqrt{21} + 6}{4} \).
4. Шаг 4: Складываем полученные дроби:
   \( \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} + \frac{2\sqrt{21} + 6}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} + 6}{4} \).
5. Шаг 5: Упрощаем числитель: \( 14 + 6 = 20 \).
   Получаем: \( \frac{20}{4} \).
6. Шаг 6: Вычисляем окончательное значение: \( \frac{20}{4} = 5 \).

Ответ: Значение выражения равно 5.