17 Площадь параллелограмма ABCD равна 250. На его сторонах AB и CD взяты точки P и Q так, что площадь треугольника BPQ равна 50. Найдите, чему равно отношение AP:BP.

Решение:

Обозначим площадь параллелограмма как \( S_{ABCD} = 250 \).

Площадь треугольника \( S_{BPQ} = 50 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( BC = AD \).

Треугольник \( BPQ \) и параллелограмм \( ABCD \) имеют одинаковую высоту, если основание \( PQ \) параллельно \( AB \) и \( CD \). Однако, из условия это не следует.

Рассмотрим треугольник \( BPQ \). Его площадь равна \( \frac{1}{2} × BP × h \), где \( h \) — высота, проведенная к стороне \( BP \).

Если предположить, что \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \), и \( PQ \) является диагональю, то это не так.

Давайте рассмотрим случай, когда \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = AB × h_{AB} \), где \( h_{AB} \) — высота, проведенная к стороне \( AB \).

Площадь треугольника \( BPQ \) может быть выражена как \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} × PQ × h_{PQ} \), где \( h_{PQ} \) — высота, проведенная к стороне \( PQ \).

Из рисунка видно, что \( P \) находится на \( AB \) и \( Q \) находится на \( CD \).

Если \( PQ \) параллельна \( AD \) и \( BC \), то \( BPQC \) — параллелограмм.

Однако, если \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) на \( CD \), и \( PQ \) является диагональю, то треугольник \( BPQ \) не является частью параллелограмма, который имеет общую высоту с \( ABCD \).

Рассмотрим другое предположение: \( P \) лежит на \( AB \), а \( Q \) лежит на \( BC \) или \( CD \). Из рисунка видно, что \( P \) на \( AB \) и \( Q \) на \( CD \). Точка \( Q \) не обязательно лежит на \( CD \), но на стороне \( CD \) или её продолжении. Из рисунка \( Q \) лежит на \( CD \).

Предположим, что \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \). Тогда \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( BP = CQ \) и \( BC = PQ \).

Если \( P \) на \( AB \) и \( Q \) на \( CD \), и \( PQ \) проходит через точку пересечения диагоналей, тогда \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \).

Рассмотрим случай, когда \( PQ \) является прямой, соединяющей \( AB \) и \( CD \). Если \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм.

Если \( P \) на \( AB \) и \( Q \) на \( CD \), то площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h \), где \( h \) — высота параллелограмма.

Так как \( Q \) лежит на \( CD \), и \( P \) на \( AB \), то \( PQ \) может быть диагональю.

Если \( PQ \) — диагональ, то \( S_{BPQ} = S_{ABCD} / 2 = 250 / 2 = 125 \). Но дано \( S_{BPQ} = 50 \).

Рассмотрим, что \( PQ \) — это отрезок, параллельный \( BC \) и \( AD \). Тогда \( BPQC \) — параллелограмм.

Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h_{PQ} \), где \( h_{PQ} \) — высота.

Если \( PQ \) параллельна \( AD \) и \( BC \), то \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( S_{BPQ} = S_{BPC} = S_{CQD} = S_{ADP} = 250/2 = 125 \). Это противоречие.

Давайте используем тот факт, что \( Q \) лежит на \( CD \). Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h \), где \( h \) — высота параллелограмма. Это неверно, так как \( Q \) не обязательно лежит на прямой, перпендикулярной \( AB \).

Правильное выражение площади треугольника \( BPQ \), где \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \), и \( PQ \) является некоторой линией, зависит от положения \( Q \).

Если \( PQ \) является диагональю \( BD \), то \( P=B, Q=D \), \( S_{BDC} = 125 \).

Если \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм.

Используем тот факт, что \( S_{BPQ} = 50 \) и \( S_{ABCD} = 250 \). Отношение площадей \( \frac{S_{BPQ}}{S_{ABCD}} = \frac{50}{250} = \frac{1}{5} \).

Если \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \), и \( PQ \) является диагональю, то \( S_{BPQ} \) не определена однозначно.

Рассмотрим треугольник \( BPQ \). Пусть \( h \) — высота параллелограмма \( ABCD \) относительно основания \( AB \). Тогда \( S_{ABCD} = AB × h = 250 \).

Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} × BP × h_{PQ} \). \( h_{PQ} \) — высота треугольника \( BPQ \) к основанию \( BP \).

Если \( Q \) лежит на \( CD \), то \( CD \) параллельна \( AB \). Расстояние между \( AB \) и \( CD \) равно высоте \( h \) параллелограмма.

Рассмотрим треугольник \( BPQ \). Площадь \( S_{BPQ} = 50 \).

Если \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \), и \( PQ \) — некоторая линия.

Пусть \( BP = x \). Тогда \( AP = AB - x \). Отношение \( AP:BP = (AB-x):x \).

Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h \) если \( Q \) находится на прямой \( CD \) и \( PQ \) перпендикулярна \( AB \).

Используем свойство площадей. Если \( P \) на \( AB \) и \( Q \) на \( CD \), то площадь треугольника \( BPQ \) будет зависеть от положения \( Q \) на \( CD \).

Если \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} S_{BPQC} \). \( S_{BPQC} = BP × h \).

Если \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( S_{BPQ} = S_{BQC} = 50 \).

В этом случае \( S_{BPQC} = S_{BPQ} + S_{BQC} = 50 + 50 = 100 \) (это неверно, так как \( BPQC \) — параллелограмм).

Если \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} BP × BC × sin(° B) \).

Рассмотрим отношение площадей. \( S_{BPQ} = 50 \), \( S_{ABCD} = 250 \). \( S_{BPQ} = \frac{1}{5} S_{ABCD} \).

Пусть \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \). Площадь треугольника \( BPQ \) можно выразить как \( \frac{1}{2} × BP × h \), где \( h \) — высота параллелограмма, если \( Q \) лежит на прямой \( CD \) и \( PQ \) перпендикулярна \( AB \).

Если \( Q \) лежит на \( CD \), то \( Q \) находится на расстоянии \( h \) от \( AB \).

Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h \) если \( PQ \) перпендикулярна \( AB \). Это возможно, если \( PQ \) — высота.

Если \( PQ \) не перпендикулярна \( AB \), то \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} × BP × h × sin(° BPQ) \). Это не проще.

Рассмотрим площади треугольников, образованных диагоналями. Диагонали делят параллелограмм на 4 равновеликих треугольника. \( S_{ABD} = S_{BCD} = 125 \).

Если \( P \) лежит на \( AB \) и \( Q \) лежит на \( CD \), то \( S_{BPQ} = 50 \).

Пусть \( BP = x \) и \( AB = a \). Тогда \( AP = a - x \). Отношение \( AP:BP = (a-x):x \).

Площадь треугольника \( BPQ \) равна \( \frac{1}{2} × BP × h \) только если \( PQ \) перпендикулярна \( AB \), что неверно.

Если \( P \) лежит на \( AB \), а \( Q \) на \( CD \), и \( PQ \) параллельна \( BC \) и \( AD \), то \( BPQC \) — параллелограмм. Тогда \( S_{BPQ} = \frac{1}{2} S_{BPQC} = 50 \), следовательно \( S_{BPQC} = 100 \).

Так как \( BPQC \) — параллелограмм, \( S_{BPQC} = BP × h \) (где \( h \) — высота параллелограмма \( ABCD \)).

\( 100 = BP × h \).

Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = AB × h = 250 \).

Разделим эти два уравнения:

\( \frac{BP × h}{AB × h} = \frac{100}{250} \)

\( \frac{BP}{AB} = \frac{100}{250} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \).

Значит, \( BP = \frac{2}{5} AB \).

Тогда \( AP = AB - BP = AB - \frac{2}{5} AB = \frac{3}{5} AB \).

Отношение \( AP:BP = \frac{AP}{BP} = \frac{\frac{3}{5} AB}{\frac{2}{5} AB} = \frac{3/5}{2/5} = \frac{3}{2} \).

Ответ: 3:2.