17. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 178°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

Пусть углы при одном основании равны \( \alpha \), а углы при другом основании равны \( \beta \). В равнобедренной трапеции всегда \( \alpha \neq \beta \) (если это не прямоугольник, что не является трапецией в строгом смысле). Если бы \( \alpha = \beta \), то сумма углов при основании была бы 180°, а сумма углов трапеции — 360°, что возможно для параллелограмма, но не для трапеции, если основания разные.

Есть два случая для суммы двух углов:

Случай 1: Сумма двух углов при одном основании. Например, \( \alpha + \alpha = 178^{\circ} \).

• Тогда \( 2\alpha = 178^{\circ} \)
• \( \alpha = \frac{178^{\circ}}{2} = 89^{\circ} \)
• Углы при другом основании тогда будут \( \beta = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - 89^{\circ} = 91^{\circ} \).
• В этом случае углы трапеции: 89°, 89°, 91°, 91°. Больший угол — 91°.

Случай 2: Сумма одного угла при каждом основании. Например, \( \alpha + \beta = 178^{\circ} \).

• Мы знаем, что \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \) (смежные углы при боковой стороне).
• Это противоречит условию, что сумма равна 178°. Значит, этот случай невозможен.

Случай 3: Сумма одного острого и одного тупого угла. Например, \( \alpha + \beta = 178^{\circ} \). Это тоже противоречит \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Случай 4: Сумма двух прилежащих к разным основаниям углов, но при этом один из них острый, другой тупой. Это невозможно, так как в равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.

Случай 5: Сумма углов при одном основании, но углы тупые. \( \beta + \beta = 178^{\circ} \).

• Тогда \( 2\beta = 178^{\circ} \)
• \( \beta = 89^{\circ} \)
• Но \( \beta \) — это тупой угол, а 89° — острый. Значит, этот случай также невозможен.

Единственный возможный случай — это когда два равных острых угла в сумме дают 178°. Это означает, что углы при одном основании равны 89°.

Углы при другом основании будут равны \( 180^{\circ} - 89^{\circ} = 91^{\circ} \).

Углы трапеции: 89°, 89°, 91°, 91°.

Больший угол в этой трапеции равен 91°.

Ответ:

91