17. Тип 17 № 8725 / Найдите значение выражения √2√5+6-√5.

Решение:

1. Рассмотрим выражение под корнем:

   $$ 2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5} $$

2. Сгруппируем подобные слагаемые:

   $$ (2\sqrt{5} - \sqrt{5}) + 6 $$

3. Вынесем

   $$ \sqrt{5} $$

   за скобки:

   $$ \sqrt{5}(2 - 1) + 6 $$

4. Упростим:

   $$ \sqrt{5} + 6 $$

5. Теперь возьмем квадратный корень от полученного выражения:

   $$ \sqrt{6 + \sqrt{5}} $$

6. Для упрощения данного выражения, представим его в виде

   $$ \sqrt{\frac{a+b}{2}} + \sqrt{\frac{a-b}{2}} $$

   где

   $$ a = 6 $$

   и

   $$ b = \sqrt{5} $$

   (т.е.

   $$ b^2 = 5 $$

   ).
7. Подставим значения:

   $$ \sqrt{\frac{6 + \sqrt{5}}{2}} + \sqrt{\frac{6 - \sqrt{5}}{2}} $$

8. Умножим числитель и знаменатель под корнями на 2:

   $$ \sqrt{\frac{12 + 2\sqrt{5}}{4}} + \sqrt{\frac{12 - 2\sqrt{5}}{4}} $$

9. Вынесем знаменатель из-под корня:

   $$ \frac{\sqrt{12 + 2\sqrt{5}}}{2} + \frac{\sqrt{12 - 2\sqrt{5}}}{2} $$

10. Теперь найдем два числа, произведение которых равно 5, а сумма равна 12 (для

    $$ \sqrt{12 + 2\sqrt{5}} $$

    ). Таких чисел нет, значит, первоначальное выражение под корнем не является полным квадратом суммы или разности.
11. Пересмотрим первоначальное выражение:

    $$ \sqrt{2 \sqrt{5} + 6 - \sqrt{5}} $$

12. Упростим подкоренное выражение:

    $$ 2\sqrt{5} + 6 - \sqrt{5} = 6 + \sqrt{5} $$

13. Таким образом, ищем значение

    $$ \sqrt{6 + \sqrt{5}} $$

14. Это выражение нельзя упростить до целого или простого рационального числа без использования приближенных вычислений.
15. Возможно, в задании была опечатка, и имелось в виду:

    $$ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} $$

16. Если это так, то

    $$ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}+1)^2} = \sqrt{5}+1 $$

17. Или

    $$ \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1 $$

18. Если же выражение

    $$ \sqrt{2\sqrt{5}+6-\sqrt{5}} $$

    записано верно, то оно упрощается до

    $$ \sqrt{6+\sqrt{5}} $$

    .

Ответ: Учитывая возможное условие опечатки, если выражение

$$ \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} $$

, то ответ

$$ \sqrt{5}+1 $$

. Если выражение

$$ \sqrt{6 + \sqrt{5}} $$

верно, то оно не упрощается далее без приближения.