17 В треугольнике ABC известно, что AC = BC. AB = 4. cos BAC = \(\sqrt{3}\)/2. Найдите высоту AH.

Задание 17

Дано:

• Треугольник ABC.
• AC = BC (треугольник равнобедренный).
• AB = 4.
• \( \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Найти: высоту AH.

Решение:

1. Найдем угол BAC. Так как \( \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( \angle BAC = 30^{\circ} \).
2. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то \( \angle ABC = \angle BAC = 30^{\circ} \).
3. Сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол ACB: \( \angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
4. В треугольнике ABH (прямоугольный, так как AH - высота):
• \( \angle BAH = 30^{\circ} \) (так как \( \angle BAC = 30^{\circ} \)).
• \( \angle ABH = 30^{\circ} \) (так как \( \angle ABC = 30^{\circ} \)).
• Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, AH = BH.
• По теореме Пифагора в треугольнике ABH: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
• Так как AH = BH, то \( AB^2 = AH^2 + AH^2 = 2AH^2 \).
• \( 4^2 = 2AH^2 \)
• \( 16 = 2AH^2 \)
• \( AH^2 = 8 \)
• \( AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
5. Альтернативное решение через синус:
• В прямоугольном треугольнике ABH: \( \sin(\angle ABC) = \frac{AH}{AB} \).
• \( AH = AB \cdot \sin(\angle ABC) \)
• \( AH = 4 \cdot \sin(30^{\circ}) \)
• \( AH = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
6. Проверка: В равнобедренном треугольнике ABC, проведенная высота AH к основанию AB не является высотой, так как угол C = 120. Высота AH проведена из вершины A к стороне BC.
• В прямоугольном треугольнике ABH:
• \( \angle ABC = 30^{\circ} \).
• \( \sin(\angle ABC) = \frac{AH}{AB} \)
• \( AH = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 4 \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
• Второй вариант:
• \( \angle BAC = 30^{\circ} \).
• В треугольнике ABC: \( \angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
• Высота AH проведена из A к BC.
• В прямоугольном треугольнике ABH: \( \angle ABH = 30^{\circ} \).
• \( AH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
• Если AH - высота к стороне BC, то в прямоугольном треугольнике ABH \( \angle B = 30^{\circ} \). \( AH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot 0.5 = 2 \).
• Если AH - высота к стороне AB, то в равнобедренном треугольнике ABC, \( \angle C = 120^{\circ} \). Высота из C к AB делит угол C пополам.
• По условию, AH - высота. По рисунку AH к BC.
• В \( \triangle ABC \): \( \angle A = \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle C = 120^{\circ} \). AB = 4.
• Высота AH проведена из вершины A к стороне BC.
• Рассмотрим \( \triangle ABH \). \( \angle AHB = 90^{\circ} \) (по определению высоты). \( \angle ABH = \angle ABC = 30^{\circ} \).
• В прямоугольном \( \triangle ABH \): \( \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} \).
• \( \sin(30^{\circ}) = \frac{AH}{4} \).
• \( \frac{1}{2} = \frac{AH}{4} \).
• \( AH = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).

Ответ: 2.