Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17 В треугольнике ABC известно, что AC = BC. AB = 4. cos BAC = \(\sqrt{3}\)/2. Найдите высоту AH.Фото задания

Ответ:

Задание 17

Дано:

  • Треугольник ABC.
  • AC = BC (треугольник равнобедренный).
  • AB = 4.
  • \( \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Найти: высоту AH.

Решение:

  1. Найдем угол BAC. Так как \( \cos \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то \( \angle BAC = 30^{\circ} \).
  2. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то \( \angle ABC = \angle BAC = 30^{\circ} \).
  3. Сумма углов треугольника равна 180°, найдем угол ACB: \( \angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
  4. В треугольнике ABH (прямоугольный, так как AH - высота):
    • \( \angle BAH = 30^{\circ} \) (так как \( \angle BAC = 30^{\circ} \)).
    • \( \angle ABH = 30^{\circ} \) (так как \( \angle ABC = 30^{\circ} \)).
    • Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, AH = BH.
    • По теореме Пифагора в треугольнике ABH: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
    • Так как AH = BH, то \( AB^2 = AH^2 + AH^2 = 2AH^2 \).
    • \( 4^2 = 2AH^2 \)
    • \( 16 = 2AH^2 \)
    • \( AH^2 = 8 \)
    • \( AH = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
  5. Альтернативное решение через синус:
    • В прямоугольном треугольнике ABH: \( \sin(\angle ABC) = \frac{AH}{AB} \).
    • \( AH = AB \cdot \sin(\angle ABC) \)
    • \( AH = 4 \cdot \sin(30^{\circ}) \)
    • \( AH = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
  6. Проверка: В равнобедренном треугольнике ABC, проведенная высота AH к основанию AB не является высотой, так как угол C = 120. Высота AH проведена из вершины A к стороне BC.
    • В прямоугольном треугольнике ABH:
      • \( \angle ABC = 30^{\circ} \).
      • \( \sin(\angle ABC) = \frac{AH}{AB} \)
      • \( AH = AB \cdot \sin(\angle ABC) = 4 \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
    • Второй вариант:
      • \( \angle BAC = 30^{\circ} \).
      • В треугольнике ABC: \( \angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
      • Высота AH проведена из A к BC.
      • В прямоугольном треугольнике ABH: \( \angle ABH = 30^{\circ} \).
      • \( AH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).
      • Если AH - высота к стороне BC, то в прямоугольном треугольнике ABH \( \angle B = 30^{\circ} \). \( AH = AB \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot 0.5 = 2 \).
      • Если AH - высота к стороне AB, то в равнобедренном треугольнике ABC, \( \angle C = 120^{\circ} \). Высота из C к AB делит угол C пополам.
      • По условию, AH - высота. По рисунку AH к BC.
      • В \( \triangle ABC \): \( \angle A = \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle C = 120^{\circ} \). AB = 4.
      • Высота AH проведена из вершины A к стороне BC.
      • Рассмотрим \( \triangle ABH \). \( \angle AHB = 90^{\circ} \) (по определению высоты). \( \angle ABH = \angle ABC = 30^{\circ} \).
      • В прямоугольном \( \triangle ABH \): \( \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} \).
      • \( \sin(30^{\circ}) = \frac{AH}{4} \).
      • \( \frac{1}{2} = \frac{AH}{4} \).
      • \( AH = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \).

Ответ: 2.