Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 80°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.Фото задания

Ответ:

Задание

Дано:

  • Окружность с центром O.
  • AC и BD — диаметры.
  • \( \angle ACB = 80^{\circ} \).

Найти: \( \angle AOD \).

Решение:

  1. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB \).
  2. \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot 80^{\circ} = 160^{\circ} \).
  3. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается: \( \angle AOD = \stackrel{\frown}{AD} \).
  4. AC — диаметр, поэтому дуга ABC равна 180°. \( \stackrel{\frown}{ABC} = \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} \).
  5. \( \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{AB} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
  6. BD — диаметр, поэтому дуга BCD равна 180°. \( \stackrel{\frown}{BCD} = \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} \).
  7. \( \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
  8. Проверка: Дуга ADC равна 180°. \( \stackrel{\frown}{AD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
  9. Нет, это неверно.
  10. Второй подход:
    • Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB. \( \stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 80^{\circ} = 160^{\circ} \).
    • Угол ADB — вписанный, опирается на ту же дугу AB. \( \angle ADB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \times 160^{\circ} = 80^{\circ} \).
    • AC и BD — диаметры, пересекаются в центре O.
    • Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = ​\angle ACB = 80^{\circ} \).
    • \( \angle BOC = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 80^{\circ}) = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
    • \( \angle BOC \) — центральный угол, опирается на дугу BC. Значит, \( \stackrel{\frown}{BC} = 20^{\circ} \).
    • \( \angle AOD \) — центральный угол, вертикальный с \( \angle BOC \).
    • Следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC = 20^{\circ} \).
    • Проверка:
      • \( \angle ACB = 80^{\circ} \), значит, \( \stackrel{\frown}{AB} = 160^{\circ} \).
      • AC — диаметр, значит, \( \stackrel{\frown}{ABC} = 180^{\circ} \). \( \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
      • BD — диаметр, значит, \( \stackrel{\frown}{BCD} = 180^{\circ} \). \( \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).
      • \( \angle AOD \) — центральный угол, опирается на дугу AD.
      • \( \stackrel{\frown}{AD} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
      • \( \angle AOD = \stackrel{\frown}{AD} = 20^{\circ} \).

Ответ: 20.