№ 171 Найдите значение выражения

Решение:

Заданное выражение:

\[ \frac{2}{2 + \sqrt{3}} + 2\sqrt{3} \]

1. Избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $2\; -\; \backslash sqrt\{3\}$:

\[ \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{1} = 4 - 2\sqrt{3} \]

2. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

\[ (4 - 2\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} \]

3. Упростим выражение:

\[ 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4 \]

Ответ: 4