175. В прямоугольном треугольнике DEF DE = EF, точка М середина ДЕ. Через точку М провели прямую, перпендикулярную катету DE, которая пересекает гипотенузу DF в точке К, МК = 9 см. Найдите длину катета DE.

Решение:

В прямоугольном треугольнике DEF \( \angle E = 90^{\circ} \). Так как DE = EF, то треугольник DEF равнобедренный.

\( \angle D = \angle F = 45^{\circ} \).

MK \(\perp\) DE. Следовательно, \( \angle M = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике MFK, \( \angle KMF = 90^{\circ} \).

\( \angle MKD = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle D = 45^{\circ} \).

В треугольнике MKD:

\[ \sin D = \frac{MK}{DK} \]

\[ DK = \frac{MK}{\sin D} = \frac{9}{\sin 45^{\circ}} = \frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} \text{ см} \]

M — середина DE, значит, \( DE = 2 DM \).

MK — средняя линия треугольника DEF (так как MK || EF и M — середина DE).

Следовательно, \( MK = \frac{1}{2} EF \).

Так как EF = DE, то \( MK = \frac{1}{2} DE \).

\[ DE = 2 MK \]

\[ DE = 2 \cdot 9 \text{ см} \]

\[ DE = 18 \text{ см} \]

Ответ: 18 см.