177. a) \(\frac{4p^2-2p+1}{8p^3+1};\) 6) \(\frac{27a^3+8}{2+3a}\)

Решение:

177. а)

Числитель \( 4p^2-2p+1 \) является частью формулы суммы кубов \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \). Если \( a=2p \) и \( b=1 \), то \( a^2-ab+b^2 = (2p)^2 - (2p)(1) + 1^2 = 4p^2-2p+1 \). Знаменатель \( 8p^3+1 \) — это сумма кубов \( (2p)^3 + 1^3 \).

\(\frac{4p^2-2p+1}{8p^3+1} = \frac{4p^2-2p+1}{(2p)^3+1^3} = \frac{4p^2-2p+1}{(2p+1)(4p^2-2p+1)}\)

Сократим дробь на \( (4p^2-2p+1) \), при условии, что \( 4p^2-2p+1 \neq 0 \) (это выражение всегда больше нуля, так как дискриминант \( (-2)^2 - 4(4)(1) = 4-16 = -12 < 0 \) и коэффициент при \( p^2 \) положителен):

\(\frac{1}{2p+1}\)

177. б)

Знаменатель \( 2+3a \) можно переписать как \( 3a+2 \). Числитель \( 27a^3+8 \) — это сумма кубов \( (3a)^3 + 2^3 \).

\(\frac{27a^3+8}{2+3a} = \frac{(3a)^3+2^3}{3a+2}\)

Применим формулу суммы кубов \( a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \) к числителю:

\(\frac{(3a+2)((3a)^2 - (3a)(2) + 2^2)}{3a+2} = \frac{(3a+2)(9a^2-6a+4)}{3a+2}\)

Сократим дробь на \( (3a+2) \), при условии, что \( a \neq -\frac{2}{3} \):

\(9a^2-6a+4\)

Ответ: а) \(\frac{1}{2p+1}\); б) \(9a^2-6a+4\).