178. a) \(\frac{9x^2-6x+1}{9x^2-1};\) 6) \(\frac{16a^2-25b^2}{16a^2+40ab+25b^2}\)

Решение:

178. а)

Числитель \( 9x^2-6x+1 \) является квадратом разности \( (3x-1)^2 \), так как \( (3x)^2 - 2(3x)(1) + 1^2 = 9x^2-6x+1 \).

Знаменатель \( 9x^2-1 \) является разностью квадратов \( (3x)^2 - 1^2 \), что раскладывается на \( (3x-1)(3x+1) \).

\(\frac{9x^2-6x+1}{9x^2-1} = \frac{(3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}\)

Сократим дробь на \( (3x-1) \), при условии, что \( x \neq \frac{1}{3} \) и \( x \neq -\frac{1}{3} \):

\(\frac{3x-1}{3x+1}\)

178. б)

Числитель \( 16a^2-25b^2 \) является разностью квадратов \( (4a)^2 - (5b)^2 \), что раскладывается на \( (4a-5b)(4a+5b) \).

Знаменатель \( 16a^2+40ab+25b^2 \) является квадратом суммы \( (4a+5b)^2 \), так как \( (4a)^2 + 2(4a)(5b) + (5b)^2 = 16a^2+40ab+25b^2 \).

\(\frac{16a^2-25b^2}{16a^2+40ab+25b^2} = \frac{(4a-5b)(4a+5b)}{(4a+5b)^2}\)

Сократим дробь на \( (4a+5b) \), при условии, что \( 4a+5b \neq 0 \):

\(\frac{4a-5b}{4a+5b}\)

Ответ: а) \(\frac{3x-1}{3x+1}\); б) \(\frac{4a-5b}{4a+5b}\).