177. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения: а) $\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(n+\frac{1}{n}-1\right):\frac{1}{n^2}$; б) [выражение обрезано].

Question

Вопрос: $Фото задания: 177. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения: а)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Заменим деление на $\frac{1}{n^2}$ умножением на $n^2$:

$\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(n+\frac{1}{n}-1\right):\frac{1}{n^2}=\frac{n+1}{n}\cdot\frac{n^2-n+1}{n}\cdot n^2$.

Сокращаем $n^2$:

$(n+1)(n^2-n+1)=n^3+1$, поскольку $(u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3$.

Следовательно, при натуральном $n$ значение выражения равно $n^3+1$ и является натуральным числом.

б) Выражение в условии обрезано. Пришлите его целиком, чтобы можно было доказать утверждение.

177. Докажите, что при любом натуральном \(n\) значение выражения: а) \(\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(n+\frac{1}{n}-1\right):\frac{1}{n^2}\); б) [выражение обрезано].